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数学新领域（第1页）

数学新领域

◆初等数论的新发展

数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布，以及数论函数等内容，统称初等数论。

初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》中就已出现。欧几里德证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓“欧几里德算法”。我国古代在数论方面亦有杰出贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。

近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王。”可见高斯对数论的高度评价。

由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开辟了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时促进了数论的发展。

◎希腊数学家欧几里德的《几何原本》的一页。

◆现代科技发展的基石——微积分学客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引人了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学方法来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。

德国的莱布尼茨是一个博学多才的学者。1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，菜布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。微积分是与应用数学联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程是为了从万有引力定律导出开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

◆20世纪的横断性学科——控制论控制论是研究各类系统的调节和控制规律的科学。它是自动控制、通讯技术、计算机科学、数理逻辑、神经生理学、统计力学、行为科学等多种科学技术相互渗透形成的一门横断性学科。它研究生物体和机器以及各种不同基质系统的通讯和控制的过程，探讨它们共同具有的信息交换、反馈调节、自组织、自适应的原理和改善系统行为、使系统稳定运行的机制，从而形成了一大套适用于各门科学的概念、模型、原理和方法。1948年维纳的《控制论》出版，宣告了这门科学的诞生。维纳在他的《控制论》一书的副标题上标明，控制论是“关于在动物和机器中控制和通讯的科学”。

控制论的研究表明，无论自动机器，还是神经系统、生命系统，以至经济系统、社会系统，都可以看作是一个自动控制系统。整个控制过程就是一个信息流通的过程，控制就是通过信息的传输、变换、加工、处理来实现的。

控制论得到广泛应用的第一个时期为20世纪50年代，是经典控制论时期。这个时期的代表著作有我国著名科学家钱学森1945年在美国发表的《工程控制论》。第二个时期是60年代的现代控制论时期。导弹系统、人造恒星、生物系统研究的发展，使控制论的重点从单变量控制到多变量控制，从自动调节向最优控制，由线性系统向非线性系统转变。第三时期是20世纪70年代后的大系统理论时期。控制论由工程控制论、生物控制论向经济控制论、社会控制论发展。控制论具有十分重要的理论意义和实践意义，它体现了现代科学整体化发展趋势，为现代科学技术提供了新的思路和科学方法。

◆几何学的新分支拓扑学

几何拓扑学是19世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在18世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占有重要的地位。在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展的重要问题。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形。

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支：一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学；另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑学。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。

◆数学应用中诞生的运筹学

第二次世界大战以来，由于技术和工业的迅速发展，带动了数学向应用方向的发展。运筹学的诞生是这方面最突出的例子，它包括以下四个主要分支：对策论：1944年冯·诺伊曼和摩根斯特恩合著的《对策论与经济行为》奠定了现代对策论的基础，把对策研究从古代的军事政治领域扩大到了社会经济生活领域。

规划论：它主要研究计划和管理工作中的安排与估值问题，用数学语言描述便是：研究某一目标函数在一定约束条件下的最大值和最小值问通俗的例子是：要去某地时，考虑有几条路可走，走哪一条最快最省力。它的内容包括线性规划、非线性规划、动态规划等。前苏联的康特洛维奇1939年出版的《生产组织与计划中的数学方法》是这方面的早期著作。20世纪50年代以来西方出版了许多规划论著作。

◎托姆的突变理论题。

排队论：它的目的是解决“怎样才能使服务系统的效率最高”的问题。1908年丹麦人爱尔朗出版的《排队论在丹麦电话系统中的使用》是这方面最早的著作。随着20世纪服务性行业的发展，排队论的研究和应用都有了新的进步。