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最大的素数（第1页）

最大的素数

既然按照埃拉托斯尼的筛法可以把筛子作得无穷大，那也就是说明素数的个数是无穷无尽的。那么有没有可能随着素因子的越来越多，最后素数的密度越来越小，也就是素数在自然数中越来越稀少，最后出现一个最大的素数，成为空前绝后呢!

这个问题当然是个难题，但是这个难题已经证明了。占希腊的数学家欧几里得用了“反证法”证明了这个难题。他假设素数是有限的，而且存在一个最大的素数N，那么必然可以找到另外一个数M，这个M是用所有素数直到最大素数N之间的乘积再加上1，也就是表示为：

M=（2×3×5×7×…×N）+1

自然，M要比N大得多。然而M被2、3、5、7……直至N来除的话，都无法除尽，都会余1。所以M仍然是一个素数。由此证明N并不是最大素数，这就与假设所矛盾，从而证明了素数是无限的，最大的素数不存在。

与这种思路类似，我国至少从四世纪开始，已形成了“中国余数定理”，比如“大衍求一术”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等等，它们发展了余数为1的情况，从而可以去解各种各样的不定方程。我们举一个简单的例子，如果一队士兵，排成3路纵队，最后一行余1人；如果排成5路纵队，最后一行还余1人；如果改为7路纵队，最后一行仍是余1人。那么，其计算为：

X=（3×5×7）+1=106人

总共士兵为106人，这是最小的一个解。假如最后一行余2人或多人，按照“中国余数定理”。也是能够算出来的。

爱因斯坦也举过一个例子。他说：在你面前有一条长长的阶梯。如果每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩下2阶；如果每步跨5阶，那么最后剩下4阶；如果每步跨6阶，那么最后剩下5阶；如果每步跨7阶，正好走完。问阶梯至少有多少阶?

解答这个问题可以由2、3、5、6的最小公倍数30开始，对30、50、90、120分别减去1，满足前四个条件，即29、59、89、119分别被2、3、5、6除以后得到上述的余数。然后它又应被7整除，所以惟独119是正确答案。

从上述的变迁可以看出：最大的素数并不存在。但是在证明这个结论的过程中，使人们又获得了新的知识，对于求解不定方程感到茅塞顿开、迎刃而解了。