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六 比与比例（第1页）

六比与比例

比与比例也是奥马研究的中心问题．早在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派就建立过比例论，不过只限于可公度量．如果A，B两个量可公度，即存在正整数m，n，使得mA=nB，则

就是一个数．但若A，B不可公度，他们便认为A与B无法相比．这样就很难建立一切量的比例论．欧多克索斯（Eud·xus·fi－dus）为了摆脱这一困难，另立"比"的定义：如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个"比"．接着定义"比例"：设有A，B，C，D4个量，A与C，B与D分别乘以同样的倍数m，n，如果

则说两个比A∶B与C∶D相等，即4个量可构成比例A∶B=C∶D．

欧多克索斯采取这一定义是煞费苦心的，这样可回避无公度的麻烦，由此出发完成了适用于一切量的比例论．欧几里得将欧多克索斯的理论编入《原本》成为卷V．伊斯兰学者并不怀疑比例论的真理性，而是对其立论的出发点即比例的定义持有异议．最先提出新定义的是马哈尼（al－M1h1n9，他的思路可用现代术语表述如下：将AB及CD展开成连分数，AB=（q1，q2，…，qn，…），CD=（q′1，q′2，…，q′n，…），其中qi，q′i（i=1，2，…）是各个偏商．如果qi=q′i（i=1，2，…）则称A，B，C，D成比例，即AB=CD．马哈尼认为这定义能更好地揭露比例的本质．它适用于可公度量与不可公度量，在可公度的情况，n是有限的．

奥马论证了这种定义和《原本》中比例定义的等价性，进而研究比及比例的若干性质，对伊斯兰数学和西方数学都有重要的影响．

另一方面，希腊人虽然承认无公度的两个量A，B有比，但始终不承认AB是一个数（即无理数），这就大大妨碍了数学的发展．奥马勇敢地冲破这一桎梏，主张扩大数系，将无公度量的比接纳在内．例如2的平方根，圆周长与直径的比等等，应该考虑为一种新的数．这在思想上是一次不寻常的飞跃，是建立实数系的先声．然而直到19世纪才真正实现了他的理想．