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三 用圆锥曲线解三次方程（第1页）

三用圆锥曲线解三次方程

中世纪的阿拉伯数学家对圆锥曲线作了很多探索．最值得称道的是奥马海亚姆用圆锥曲线来解三次方程．这种方法可以溯源于希腊的门奈赫莫斯（Menaechmus），事实上他就是为了解决倍立方问题（相当于三次方程x3=2a3）而发现圆锥曲线的．后来阿基米得在《论球与圆柱》（·nthesphereandder）卷2命题4提出这样的问题：用一平面把球截成两部分，使这两部分的体积成定比．这问题导致三次方程

x2（a-x）=bc2．

解法的要点是求两条圆锥曲线的交点，一条是双曲线（a－x）y=ab，另一条是抛物线ax2=c2y．

阿基米得的"平面截球问题"引起阿拉伯数学家的极大兴趣．巴格达的马哈尼（al－M1h1nī）最先试图用代数方法去解，但没有成功．后来哈津（AbūJa1cfaral－Kh1zin）用圆锥曲线来解．研究这问题的还有库希（al－Kuhi）、伊本·海塞姆（Ibnal－Haytham）、艾布尔·朱德（Abu'lJud）等．

奥马的功劳，在于考虑了所有形式的三次方程．由于他只取正根，系数也只限于正数，因此三次方程有各种不同的类型．他将一、二、三次方程归结为25类，属于三次方程的14类：缺一、二次项的x3=a；缺二次项的3类：x3+bx=a，x3＋a=bx，bx+a=x3；缺一次项的3类：x3＋cx2=a，x3＋a=cx2，cx2＋a=x3；不缺项的7类：x3＋cx2＋bx=a，x3＋cx2＋a=bx，x3＋bx＋a=cx2，cx2＋bx＋a=x3，x3＋cx2=bx＋a，x3＋bx=cx2＋a，x3＋a=cx2+bx．

每一类都给出几何解法，即用两条圆锥曲线的交点来确定方程的根．奥马在《代数学》中，专门阐述了方程的几何解法．1851年，F．韦普克（W·epcke）将此书从阿拉伯文译成法文，书名为《奥马海亚姆代数学》（L'algèbred'·marAlkhayyāmī）．以后又有D．S．卡西尔（Kasir）英译校订本《奥马海亚姆代数学》（Thealgebra·f·marKhayyam，1931）．下面取出其中的一个例子，用现代术语和符号来分析奥马的方法（文献[1]，p．75）．

要解的方程是

x3＋ax=b．（1）

按照希腊人的观点，将一个数看作一个线段，那么两个数之积就是矩形，三个数之积是长方体．同维数的量才能相加，所以先将方程改成齐次的形式

x3+c2x=c2h．（2）

右端c2h表示一个以c，c，h为边的长方体．

用解析几何的语言来说，方程（2）的根就是抛物线

x2=cy（3）

和半圆周

y2=x（h-x）（4）

交点的横坐标x．因为从（3），（4）两式消去y，就得到（2）．

此题在原书中是第6章第1题，完全用文字叙述，没有方程的形式．方程（2）表述为"立方与边（根）等于一个数"．解题的步骤是：以B·=h为直径作半圆BP·，作A·D⊥B·，以·为顶点，·A=C为参数"（正焦弦）作抛物线P·Q交半圆周于P．作PD⊥AD，PE⊥B·，则PD就是（2）的根（图1）．

事实上，记PD=x，PE=y，在半圆内，

PE2=y2=E··BE=PD·BE=x（h-x），

根据抛物线的性质，

PD2=x2=·A·PE=cy，

这正是（3），（4）两式．

奥马曾探索过三次方程的算术（代数）解法，但没有成功．他在《代数学》中写道："对于那些不仅含有常数项、一次项、二次项的方程，也许后人能够给出算术解法"．经过几百年的努力，三、四次方程的一般代数解法直到16世纪才由意大利数学家给出，五次以上方程的可解性问题到19世纪才解决