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第五章 欧拉的主要研究成果（第1页）

第五章欧拉的主要研究成果

一欧拉定理

初等数论中的欧拉定理

定理内容

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n，a为正整数，且n，a互素，（a，n）=1，则

a^φ（n）≡1（modn）

证明

首先证明下面这个命题：

对于集合Zn={x1，x2，。。。，xφ（n）}，

其中xi（i=1，2，…φ（n））是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系），考虑集合S={a*x1（modn），a*x2（modn），。。。，a*xφ（n）（modn）}

则S=Zn

1）由于a，n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此

任意xi，a*xi（modn）必然是Zn的一个元素

2）对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi≠xj

则a*xi（modn）≠a*xj（modn），这个由a、n互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn

既然这样，那么

（a*x1×a*x2×。。。×a*xφ（n））（modn）

=（a*x1（modn）×a*x2（modn）×。。。×a*xφ（n）（modn））（modn）

=（x1×x2×。。。×xφ（n））（modn）

考虑上面等式左边和右边

左边等于（a*（x1×x2×。。。×xφ（n）））（modn）

右边等于x1×x2×。。。×xφ（n））（modn）

而x1×x2×。。。×xφ（n）（modn）和n互质

根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

a^φ（n）≡1（modn）

推论：对于互质的数a、n，满足a^（φ（n）+1）≡a（modn）

费马定理:

a是不能被质数p整除的正整数，则有a^（p-1）≡1（modp）

证明这个定理非常简单，由于φ（p）=p-1，代入欧拉定理即可证明。

同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p≡a（modp）

平面几何里的欧拉定理

定理内容

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．

证明

O、I分别为⊿ABC的外心与内心．

连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分DBAC，故D为弧BC的中点．

连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．

由圆幂定理知，R2-d2=（R+d）（R-d）=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）

但DB=DI（可连BI，证明DDBI=DDIB得），